Hallo @Steibock,
ich glaube der Hartz IV-Mieter darf solange in der Wohnung bleiben, bis die Tür von der Arge durch die Mieterhöhung bezahlt ist.
Dann wird der Hartz IV-Mieter wohl Post vom Jobcenter bekommen, mit dem Hinweis die Wohnung ist zu teuer und er soll sich eine billigere suchen - natürlich in einem recht überschaubaren Zeitfenster!!